Modul: Lineare Algebra und Analysis I

Das Modul Lineare Algebra und Analysis I führt in mathematische Denkweisen sowie in die Grundbegriffe und -fertigkeiten der Hochschulmathematik ein. Die Studierenden lernen Bezüge zwischen den Inhalten der Linearen Algebra und Analysis kennen und reflektieren ihre schulmathematische Ausbildung.

Inhalte

Gemeinsame Inhalte von Linearer Algebra und Analysis:

• Aussagen- und Prädikatenlogik sowie Mengenlehre
• Relationen und Abbildungen
• Aufbau des Zahlensystems und algebraische Grundbegriffe (Ring, Gruppe, Körper)
• Vollständige Induktion

Lineare Algebra:

• Lineare Gleichungssysteme
• Vektorräume
• Lineare Abbildungen und Matrizen
• Gruppen und Gruppenoperation
• Polynome
• Determinanten

Analysis:

• Folgen: Konvergenz, Divergenz, Rechnen mit Grenzwerten, Cauchy-Folge
• Vollständigkeit von ℝ, Satz von Bolzano-Weierstraß, ℝ als Vervollständigung von ℚ
• Reihen: geometrische Reihe, harmonische Reihe, Konvergenzkriterien
• Stetigkeit: Rechenregeln für stetige Funktionen, Zwischenwertsatz, Stetigkeit der Umkehrfunktion
• Differenzierbarkeit: Rechenregeln (Produktregel, Quotientenregel, Kettenregel), Differenzierbarkeit der Umkehrfunktion
• topologische Grundbegriffe in metrischen Räumen: offene, abgeschlossene Mengen, Umgebungen, Konvergenz
• der Raum der stetigen Funktionen als normierter Vektorraum, gleichmäßige Konvergenz
• Potenzreihen: Konvergenzradius, Differenzierbarkeit
• Taylorentwicklung
• elementare Funktionen: Exponentialfunktion, trigonometrische Funktionen, jeweils mit Umkehrfunktion, Ableitung und Funktionalgleichung

Qualifikationsziele
Die Studierenden

• kennen Beweismethoden und ihre prädikatenlogische Hintergründe,
• können zentrale Beweise der Linearen Algebra und Analysis prüfen und nachvollziehen,
• führen selbstständig Beweisschritte durch und begründen elementare mathematische Sachverhalte formal oder präformal und nutzen dabei geeignete Veranschaulichungen,
• erkennen den Nutzen formaler mathematischer Notationen,
• beherrschen elementare Rechenmethoden der Linearen Algebra und Analysis (z. B. Lösen linearer Gleichungssysteme, Bestimmen von Determinanten, Nachweis von Konvergenz und Stetigkeit, Berechnung von Grenzwerten, Nutzen der Ableitungsregeln, Bestimmen von Extrema),
• beherrschen einen formalen Umgang mit zentralen Begriffen der Linearen Algebra und Analysis und führen Existenz- und Eindeutigkeitsbeweise durch,
• nutzen zentrale Begriffe der Linearen Algebra und Analysis für reale Prozesse und innermathematische Zusammenhänge, erläutern grundlegende Eigenschaften und können charakteristische Beispiele angeben,
• betrachten zentrale Begriffe der Linearen Algebra und Analysis (z. B. Funktion, Ableitung, Integral, Vektor) unter verschiedenen Aspekten und nutzen verschiedene Darstellungen,
• erkennen Abbildungen als universelle Werkzeuge der Mathematik und die besondere Bedeutung linearer Abbildungen an,
• erkennen Bezüge zwischen den Inhalten der Linearen Algebra und Analysis,
• nutzen Software zur Darstellung und Exploration mathematischer Zusammenhänge, als Werkzeug bei der Lösung von Anwendungsproblemen und reflektieren ihre Verwendung kritisch,
• nutzen ihr mathematisches Wissen für eine kritische und reflektierende Sichtweise auf die Schulmathematik.

Klausur, 150 - 180 Minuten

Erfolgreiche Bearbeitung von Übungsaufgaben (50 %)

Erfolgreiche Bearbeitung von Übungsaufgaben (50 %)

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